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基礎知識

2020-01-06 圍觀 我有話說 分享 A+ A A- 來源:學習方法報 打印本頁

一、公式

幾何公式


長方形的周長=(長+寬)×2

C=(a+b)×2

長方形的面積=長×寬

S=ab


正方形的周長=邊長×4

C=4a

正方形的面積=邊長×邊長

S=a.a=a


三角形的面積=底×高÷2

S=ah÷2

三角形的內角和=180度


平行四邊形的面積=底×高

S=ah


梯形的面積=(上底+下底)×高÷2

S=(a+b)h÷2


圓的直徑=半徑×2(d=2r)

圓的半徑=直徑÷2(r=d÷2)

圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2

C=πd =2πr

圓的面積=圓周率×半徑×半徑

S=πr×r


長方體的體積=長×寬×高

V=abh


正方體的體積=棱長×棱長×棱長V=aaa


圓柱的側面積:圓柱的側面積等于底面的周長乘高

S=ch=πdh=2πrh

圓柱的表面積:圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積

S=ch+2s=ch+2πr×r

圓柱的體積:圓柱的體積等于底面積乘高

V=Sh


圓錐的體積=1/3底面×積高

V=1/3Sh


單位換算


1公里=1千米=1000米

1米=10分米

1分米=10厘米

1厘米=10毫米


1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米


1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方厘米=1000立方毫米


1噸=1000千克

1千克=1000克=1公斤=2市斤

1公頃=10000平方米

1畝=666.666平方米


1升=1立方分米=1000毫升

1毫升=1立方厘米


1元=10角

1角=10分

1元=100分


1世紀=100年

1年=12月

大月(31天)有:18月

小月(30天)的有:49月


平年2月28天,閏年2月29天

平年全年365天,閏年全年366天

1日=24小時

1時=60分=3600秒

1分=60秒


數量關系


每份數×份數=總數

總數÷每份數=份數

總數÷份數=每份數


1倍數×倍數=幾倍數

幾倍數÷1倍數=倍數

幾倍數÷倍數=1倍數


速度×時間=路程

路程÷速度=時間

路程÷時間=速度


單價×數量=總價

總價÷單價=數量

總價÷數量=單價


工作效率×工作時間=工作總量

工作總量÷工作效率=工作時間

工作總量÷工作時間=工作效率


加數+加數=和

和-一個加數=另一個加數


被減數-減數=差

被減數-差=減數

差+減數=被減數


因數×因數=積

積÷一個因數=另一個因數


被除數÷除數=商

被除數÷商=除數

商×除數=被除數


特殊問題


相遇問題

相遇路程=速度和×相遇時間

相遇時間=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇時間


追及問題

追及距離=速度差×追及時間

追及時間=追及距離÷速度差

速度差=追及距離÷追及時間


流水問題

(1)一般公式:

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度-水流速度

靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(順流速度-逆流速度)÷2


(2)兩船相向航行的公式:

甲船順水速度+乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度


(3)兩船同向航行的公式:

后(前)船靜水速度-前(后)船靜水速度=兩船距離縮小(拉大)速度


濃度問題

溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質的重量÷溶液的重量×100%=濃度

溶液的重量×濃度=溶質的重量

溶質的重量÷濃度=溶液的重量


利潤與折扣問題

利潤=售出價-成本

利潤率=利潤÷成本×100%=(售出價÷成本-1)×100%

漲跌金額=本金×漲跌百分比

折扣=實際售價÷原售價×100%(折扣<1)

利息=本金×利率×時間

稅后利息=本金×利率×時間×(1-5%)


工程問題

工作效率×工作時間=工作總量

工作總量÷工作時間=工作效率

工作總量÷工作效率=工作時間

1÷工作時間=單位時間內完成工作總量的幾分之幾

1÷單位時間能完成的幾分之幾=工作時間


二、數與數的運算

概念


整數


1、整數的意義

自然數和0都是整數。


2、自然數

我們在數物體的時候,用來表示物體個數的1,2,3……叫做自然數。

一個物體也沒有,用0表示。0也是自然數。


3、計數單位

一(個)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。其中“一”是計數的基本單位。

10個1是10,10個10是100……每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進制計數法。


4、數位

計數單位按照一定的順序排列起來,它們所占的位置叫做數位。


5、整數的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。讀億級、萬級時,先按照個級的讀法去讀,再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來,其它數位連續有幾個0都只讀一個零。


6、整數的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪一個數位上一個單位也沒有,就在那個數位上寫0。


7、一個較大的多位數,為了讀寫方便,常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要,省略這個數某一位后面的數,寫成近似數。

⑴ 準確數:在實際生活中,為了計數的簡便,可以把一個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。改寫后的數是原數的準確數。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬;改寫成以億做單位 的數 12.543 億。

⑵ 近似數:根據實際需要,我們還可以把一個較大的數,省略某一位后面的尾數,用一個近似數來表示。例如:1302490015 省略億后面的尾數是 13 億。⑶ 四舍五入法:求近似數,看尾數最高位上的數是幾,比5小就舍去,是5或大于5舍去尾數向前一位進1。這種求近似數的方法就叫做四舍五入法。


8、整數大小的比較:位數多的那個數就大,如果位數相同,就看最高位,最高位上的數大,那個數就大;最高位上的數相同,就看下一位,哪一位上的數大那個數就大。以此類推。


小數


1、小數的意義
把整數1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數表示。如1/10記作0.1,7/100記作0.07。

一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾……

一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點,小數點左邊的數叫做整數部分,小數點左邊的數叫做整數部分,小數點右邊的數叫做小數部分。

小數點右邊第一位叫十分位,計數單位是十分之一(0.1);第二位叫百分位,計數單位是百分之一(0.01)……小數部分最大的計數單位是十分之一,沒有最小的計數單位。小數部分有幾個數位,就叫做幾位小數。如0.36是兩位小數,3.066是三位小數。

在小數里,每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是10。


2、小數的讀法:讀小數的時候,整數部分按照整數的讀法讀,小數點讀作“點”,小數部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。


3、小數的寫法:寫小數的時候,整數部分按照整數的寫法來寫,小數點寫在個位右下角,小數部分順次寫出每一個數位上的數字。


4、比較小數的大小:先看它們的整數部分,,整數部分大的那個數就大;整數部分相同的,十分位上的數大的那個數就大;十分位上的數也相同的,百分位上的數大的那個數就大……


5、小數的分類

⑴ 純小數:整數部分是零的小數,叫做純小數。例如:0.25 、 0.368 都是純小數。

⑵ 帶小數:整數部分不是零的小數,叫做帶小數。例如:3.25 、 5.26 都是帶小數。

⑶ 有限小數:小數部分的數位是有限的小數,叫做有限小數。例如:41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。

⑷ 無限小數:小數部分的數位是無限的小數,叫做無限小數。例如:4.33 …… 3.1415926 ……

⑸ 無限不循環小數:一個數的小數部分,數字排列無規律且位數無限,這樣的小數叫做無限不循環小數。例如:π

⑹ 循環小數:一個數的小數部分,有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現,這個數叫做循環小數。例如:3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……

一個循環小數的小數部分,依次不斷重復出現的數字叫做這個循環小數的循環節。例如:3.99 ……的循環節是“ 9 ” ,0.5454 ……的循環節是“ 54 ” 。

⑺ 純循環小數:循環節從小數部分第一位開始的,叫做純循環小數。例如:3.111 …… 0.5656 ……

⑻ 混循環小數:循環節不是從小數部分第一位開始的,叫做混循環小數。3.1222 …… 0.03333 ……

寫循環小數的時候,為了簡便,小數的循環部分只需寫出一個循環節,并在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環節只有一個數字,就只在它的上面點一個點。


分數


1、分數的意義

把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。

在分數里,中間的橫線叫做分數線;分數線下面的數,叫做分母,表示把單位“1”平均分成多少份;分數線下面的數叫做分子,表示有這樣的多少份。

把單位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的數,叫做分數單位。

2、分數的讀法:讀分數時,先讀分母再讀“分之”然后讀分子,分子和分母按照整數的讀法來讀。

3、分數的寫法:先寫分數線,再寫分母,最后寫分子,按照整數的寫法來寫。

4、比較分數的大小:

⑴ 分母相同的分數,分子大的那個分數就大。

⑵ 分子相同的分數,分母小的那個分數就大。

⑶ 分母和分子都不同的分數,通常是先通分,轉化成通分母的分數,再比較大小。

⑷ 如果被比較的分數是帶分數,先要比較它們的整數部分,整數部分大的那個帶分數就大;如果整數部分相同,再比較它們的分數部分,分數部分大的那個帶分數就大。


5、分數的分類

按照分子、分母和整數部分的不同情況,可以分成:真分數、假分數、帶分數

⑴ 真分數:分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。

⑵ 假分數:分子比分母大或者分子和分母相等的分數,叫做假分數。假分數大于或等于1。

⑶ 帶分數:假分數可以寫成整數與真分數合成的數,通常叫做帶分數。


6、分數和除法的關系及分數的基本性質

⑴ 除法是一種運算,有運算符號;分數是一種數。因此,一般應敘述為被除數相當于分子,而不能說成被除數就是分子。

⑵ 由于分數和除法有密切的關系,根據除法中“商不變”的性質可得出分數的基本性質。

⑶ 分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數(0除外),分數的大小不變,這叫做分數的基本性質,它是約分和通分的依據。


7、約分和通分

⑴ 分子、分母是互質數的分數,叫做最簡分數。

⑵ 把一個分數化成同它相等但分子、分母都比較小的分數,叫做約分。

⑶ 約分的方法:用分子和分母的公約數(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最簡分數為止。

⑷ 把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。

⑸ 通分的方法:先求出原來幾個分母的最小公倍數,然后把各分數化成用這個最小公倍數作分母的分數。


8、倒數

⑴ 乘積是1的兩個數互為倒數。

⑵ 求一個數(0除外)的倒數,只要把這個數的分子、分母調換位置。

⑶ 1的倒數是1,0沒有倒數


百分數


1、百分數的意義

表示一個數是另一個數的百分之幾的數 叫做百分數,也叫做百分率或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。


2、百分數的讀法:讀百分數時,先讀百分之,再讀百分號前面的數,讀數時按照整數的讀法來讀。


3、百分數的寫法:百分數通常不寫成分數形式,而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。


4、百分數與折數、成數的互化:

例如:三折就是30%,七五折就是75%,成數就是十分之幾,如一成就是10%,則六成五就是65%。


5、納稅和利息:

稅率:應納稅額與各種收入的比率。

利率:利息與本金的百分率。由銀行規定按年或按月計算。

利息的計算公式:利息=本金×利率×時間


6、百分數與分數的區別主要有以下三點:

⑴ 意義不同。百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數。”它只能表示兩數之間的倍數關系,不能表示某一具體數量。如:可以說 1米 是 5米 的 20%,不可以說“一段繩子長為20%米。”因此,百分數后面不能帶單位名稱。分數是“把單位‘1’平均分成若干份,表示這樣一份或幾份的數”。分數不僅可以表示兩數之間的倍數關系,如:甲數是3,乙數是4,甲數是乙數的?;還可以表示一定的數量,如:犌Э恕 米等。

⑵ 應用范圍不同。百分數在生產、工作和生活中,常用于調查、統計、分析與比較。而分數常常是在測量、計算中,得不到整數結果時使用。

⑶ 書寫形式不同。百分數通常不寫成分數形式,而采用百分號“%”來表示。如:百分之四十五,寫作:45%;百分數的分母固定為100,因此,不論百分數 的分子、分母之間有多少個公約數,都不約分;百分數的分子可以是自然數,也可以是小數。而分數的分子只能是自然數,它的表示形式有:真分數、假分數、帶分數,計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數,是假分數的要化成帶分數。


7、數的互化

⑴ 小數化成分數:原來有幾位小數,就在1的后面寫幾個零作分母,把原來的小數去掉小數點作分子,能約分的要約分。

⑵ 分數化成小數:用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數,有的不能除盡,不能化成有限小數的,一般保留三位小數。

⑶ 一個最簡分數,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的質因數,這個分數就能化成有限小數;如果分母中含有2和5 以外的質因數,這個分數就不能化成有限小數。

⑷ 小數化成百分數:只要把小數點向右移動兩位,同時在后面添上百分號。

⑸ 百分數化成小數:把百分數化成小數,只要把百分號去掉,同時把小數點向左移動兩位。

⑹ 分數化成百分數:通常先把分數化成小數(除不盡時,通常保留三位小數),再把小數化成百分數。

⑺ 百分數化成小數:先把百分數改寫成分數,能約分的要約成最簡分數。


數的整除


1、整除的意義

整數a除以整數b(b ≠ 0),除得的商是整數而沒有余數,我們就說a能被b整除,或者說b能整除a 。

除盡的意義 甲數除以乙數,所得的商是整數或有限小數而余數也為0時,我們就說甲數能被乙數除盡,(或者說乙數能除盡甲數)這里的甲數、乙數可以是自然數,也可以是小數(乙數不能為0)。


2、約數和倍數

⑴ 如果數a能被數b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數(或a的因數)。倍數和約數是相互依存的。

⑵ 一個數的約數的個數是有限的,其中最小的約數是1,最大的約數是它本身。

⑶ 一個數的倍數的個數是無限的,其中最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。


3、奇數和偶數

⑴ 自然數按能否被2 整除的特征可分為奇數和偶數。

① 能被2整除的數叫做偶數。0也是偶數。

② 不能被2整除的數叫做奇數。

⑵ 奇數和偶數的運算性質:

① 相鄰兩個自然數之和是奇數,之積是偶數。

② 奇數+奇數=偶數,奇數+偶數=奇數,偶數+偶數=偶數;奇數-奇數=偶數,奇數-偶數=奇數,偶數-奇數=奇數,偶數-偶數=偶數;奇數×奇數=奇數,奇數×偶數=偶數,偶數×偶數=偶數。


4、整除的特征

⑴ 個位上是0、2、4、6、8的數,都能被2整除。

⑵ 個位上是0或5的數,都能被5整除。

⑶ 一個數的個位上的數的和能被3整除,這個數就能被3整除。

⑷ 一個數個位數上的和能被9整除,這個數就能被9整除。

⑸ 能被3整除的數不一定能被9整除,但是能被9整除的數一定能被3整除。

⑹ 一個數的末兩位數能被4(或25)整除,這個數就能被4(或25)整除。

⑺ 一個數的末三位數能被8(或125)整除,這個數就能被8(或125)整除。


5、質數和合數

⑴ 一個數,如果只有1和它本身兩個約數,這樣的數叫做質數(或素數),100以內的質數有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

⑵ 一個數,如果除了1和它本身還有別的約數,這樣的數叫做合數,例如 4、6、8、9、12都是合數。

⑶ 1不是質數也不是合數,自然數除了1外,不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類,可分為質數、合數和1。


6、分解質因數

⑴ 質因數

每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數,叫做這個合數的質因數,例如15=3×5,3和5 叫做15的質因數。

⑵ 分解質因數

把一個合數用質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。通常用短除法來分解質因數。先用能整除這個合數的質數去除,一直除到商是質數為止,再把除數和商寫成連乘的形式。

⑶ 公因(約)數

幾個數公有的因數叫做這幾個數的公因數。其中最大的一個叫這幾個數的最大公因數。

公因數只有1的兩個數,叫做互質數。成互質關系的兩個數,有下列幾種情況:

①和任何自然數互質;

②相鄰的兩個自然數互質;

③當合數不是質數的倍數時,這個合數和這個質數互質;

④兩個合數的公約數只有1時,這兩個合數互質,如果幾個數中任意兩個都互質,就說這幾個數兩兩互質。

如果較小數是較大數的約數,那么較小數就是這兩個數的最大公約數。

如果兩個數是互質數,它們的最大公約數就是1。

⑷ 公倍數

① 幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數。其中最大的一個叫這幾個數的最大公倍數。

求幾個數的最大公約數的方法是:先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所得的商只有公約數1為止,然后把所有的除數連乘求積,這個積就是這幾個數的的最大公約數。

② 幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。

求幾個數的最小公倍數的方法是:先用這幾個數(或其中的部分數)的公約數去除,一直除到互質(或兩兩互質)為止,然后把所有的除數和商連乘求積,這個積就是這幾個數的最小公倍數。

如果較大數是較小數的倍數,那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。

如果兩個數是互質數,那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。

幾個數的公約數的個數是有限的,而幾個數的公倍數的個數是無限的。


?性質和規律


(一)商不變的規律

商不變的規律:在除法里,被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍,商不變。


(二)小數的性質

小數的性質:在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。


(三)小數點位置的移動引起小數大小的變化

1、小數點向右移動一位,原來的數就擴大10倍;小數點向右移動兩位,原來的數就擴大100倍;小數點向右移動三位,原來的數就擴大1000倍……

2、小數點向左移動一位,原來的數就縮小10倍;小數點向左移動兩位,原來的數就縮小100倍;小數點向左移動三位,原來的數就縮小1000倍……

3、小數點向左移或者向右移位數不夠時,要用“0"補足位。


(四)分數的基本性質

分數的基本性質:分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數(零除外),分數的大小不變。


(五)分數與除法的關系

1、被除數÷除數= 被除數/除數

2、因為零不能作除數,所以分數的分母不能為零。

3、被除數 相當于分子,除數相當于分母。


運算法則


(一)整數四則運算的法則

1、整數加法:

把兩個數合并成一個數的運算叫做加法。

在加法里,相加的數叫做加數,加得的數叫做和。加數是部分數,和是總數。

加數+加數=和 一個加數=和-另一個加數


2、整數減法:

已知兩個加數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算叫做減法。

在減法里,已知的和叫做被減數,已知的加數叫做減數,未知的加數叫做差。被減數是總數,減數和差分別是部分數。
加法和減法互為逆運算。


3、整數乘法:

求幾個相同加數的和的簡便運算叫做乘法。

在乘法里,相同的加數和相同加數的個數都叫做因數。相同加數的和叫做積。

在乘法里,0和任何數相乘都得0. 1和任何數相乘都得任何數。

一個因數× 一個因數 =積 一個因數=積÷另一個因數


4、整數除法:

已知兩個因數的積與其中一個因數,求另一個因數的運算叫做除法。

在除法里,已知的積叫做被除數,已知的一個因數叫做除數,所求的因數叫做商。

乘法和除法互為逆運算。

在除法里,0不能做除數。因為0和任何數相乘都得0,所以任何一個數除以0,均得不到一個確定的商。

被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=商×除數


5、乘方:

求幾個相同因數的積的運算叫做乘方。例如 3 × 3 =32


(二)小數四則運算

1、小數加法:

小數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。


2、小數減法:

小數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算。


3、小數乘法:

小數乘整數的意義和整數乘法的意義相同,就是求幾個相同加數和的簡便運算;一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。


4、小數除法:

小數除法的意義與整數除法的意義相同,就是已知兩個因數的積與其中一個因數,求另一個因數的運算。


(三)分數四則運算

1、分數加法:

分數加法的意義與整數加法的意義相同。是把兩個數合并成一個數的運算。

2、分數減法:

分數減法的意義與整數減法的意義相同。已知兩個加數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算。

3、分數乘法:

分數乘法的意義與整數乘法的意義相同,就是求幾個相同加數和的簡便運算。

4、分數除法:

分數除法的意義與整數除法的意義相同。就是已知兩個因數的積與其中一個因數,求另一個因數的運算。


(四)運算定律


1、加法運算定律

⑴ 加法交換律:

兩個數相加,交換加數的位置,它們的和不變,即a+b=b+a 。

⑵ 加法結合律:

三個數相加,先把前兩個數相加,再加上第三個數;或者先把后兩個數相加,再和第一個數相加它們的和不變,即(a+b)+c=a+(b+c) 。


2、乘法運算定律

⑴ 乘法交換律:

兩個數相乘,交換因數的位置它們的積不變,即a×b=b×a。

⑵ 乘法結合律:

三個數相乘,先把前兩個數相乘,再乘以第三個數;或者先把后兩個數相乘,再和第一個數相乘,它們的積不變,即(a×b)×c=a×(b×c) 。

⑶乘法分配律:

兩個數的和與一個數相乘,可以把兩個加數分別與這個數相乘,再把兩個積相加,即(a+b)×c=a×c+b×c 。

⑷ 乘法分配律擴展:

兩個數的差與一數相乘,可以先把它們與這個數分別相乘,再相減,即(a-b) ×c=a×c-b×c


3、減法運算定律

⑴ 從一個數里連續減去幾個數,可以從這個數里減去所有減數的和,差不變,即a-b-c=a-(b+c) 。

⑵ 一個數連續減去兩個數,可以先減去第二個減數,再減去第一個減數,即a-b-c=a-c-b。


4、除法運算定律

⑴ 一個數連續除以兩個數,可以除以這兩個數的集,即a÷b÷c=a÷(b×c)。

⑵ 一個數連續除以兩個數,可以先除以第二除數,再除以第一個除數,即a÷b÷c=a÷c÷b。


5、其它

a-b+c=a+c-b

a-b+c=a+(b-c)

a÷b×c=a×c÷b

a÷b×c=a÷(b÷c)


6、積的變化規律:在乘法中,一個因數不變,另一個因數擴大(或縮小)若干倍,積也擴大(或縮小)相同的倍數。

推廣:一個因數擴大A倍,另一個因數擴大B倍,積擴大AB倍。

一個因數縮小A倍,另一個因數縮小B倍,積縮小AB倍。


7、商不變性質:在除法中,被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數,商不變。m≠0 a÷b=(a×m) ÷(b×m)=(a÷m) ÷(b÷m)

推廣:被除數擴大(或縮小)A倍,除數不變,商也擴大(或縮小)A倍。

被除數不變,除數擴大(或縮小)A倍,商反而縮小(或擴大)A倍。

利用積的變化規律和商不變規律性質可以使一些計算簡便。但在有余數的除法中要注意余數。如:8500÷200= 可以把被除數、除數同時縮小100倍來除,即85÷2= ,商不變,但此時的余數1是被縮小100倍后的,所以還原成原來的余數應該是100。


(五)計算方法


1、整數加法計算法則:

相同數位對齊,從低位加起,哪一位上的數相加滿十,就向前一位進一。


2、整數減法計算法則:

相同數位對齊,從低位加起,哪一位上的數不夠減,就從它的前一位退一作十,和本位上的數合并在一起,再減。


3、整數乘法計算法則:

先用一個因數每一位上的數分別去乘另一個因數各個數位上的數,用因數哪一位上的數去乘,乘得的數的末尾就對齊哪一位,然后把各次乘得的數加起來。


4、整數除法計算法則:

先從被除數的高位除起,除數是幾位數,就看被除數的前幾位;如果不夠除,就多看一位,除到被除數的哪一位,商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1,要補“0”占位。每次除得的余數要小于除數。


5、小數乘法法則:

先按照整數乘法的計算法則算出積,再看因數中共有幾位小數,就從積的右邊起數出幾位,點上小數點;如果位數不夠,就用“0”補足。


6、除數是整數的小數除法計算法則:

先按照整數除法的法則去除,商的小數點要和被除數的小數點對齊;如果除到被除數的末尾仍有余數,就在余數后面添“0”,再繼續除。


7、除數是小數的除法計算法則:

先移動除數的小數點,使它變成整數,除數的小數點也向右移動幾位(位數不夠的補“0”),然后按照除數是整數的除法法則進行計算。


8、同分母分數加減法計算方法:

同分母分數相加減,只把分子相加減,分母不變。


9、異分母分數加減法計算方法:

先通分,然后按照同分母分數加減法的的法則進行計算。


10、帶分數加減法的計算方法:

整數部分和分數部分分別相加減,再把所得的數合并起來。


11、分數乘法的計算法則:

分數乘整數,用分數的分子和整數相乘的積作分子,分母不變;分數乘分數,用分子相乘的積作分子,分母相乘的積作分母。


12、分數除法的計算法則:

甲數除以乙數(0除外),等于甲數乘乙數的倒數。

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(六) 運算順序

1、小數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。

2、分數四則運算的運算順序和整數四則運算順序相同。

3、沒有括號的混合運算:同級運算從左往右依次運算;兩級運算先算乘、除法,后算加減法。

4、有括號的混合運算:先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。

5、第一級運算:加法和減法叫做第一級運算。

6、第二級運算:乘法和除法叫做第二級運算。

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